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\title{离散数学作业}
\author{2020141460280张家帅}
\begin{document}
\maketitle
非常非常抱歉，我真的太拖延了，而且因为时间久远，我已经分不清第几周了 Orz

我把作业放到一起，目录加上超链接了，希望不要给您造成太大的麻烦，感谢批改！
\tableofcontents
\newpage
\section*{习题十}
\addcontentsline{toc}{section}{习题十}
\subsection*{4}
\addcontentsline{toc}{subsection}{4}
解，设$v_i$为图中的任意节点，$\mathop{deg}(v_i)$为节点$v_i$的度数，根据握手定理
\[2m=\sum_{i=1}^n\mathop{deg}(v_i)\leqslant\sum_{i_1}^n\Delta=n\Delta\]
因此$\frac{2m}{n}\leqslant\Delta$，同理可得$\delta\leqslant\frac{2m}{n}$
\subsection*{7}
\addcontentsline{toc}{subsection}{7}
由握手定理可得
\[(n-12)\times 2+12\times 3=21\times 2\]
因此$n$等于$15$
\subsection*{8}
\addcontentsline{toc}{subsection}{8}
由点诱导子图的定义，任选两个子图中的节点，如果原图中存在连接这两个节点的边，那么这条边在子图内，根据完全图的定义
任意两点之间必有边，即得子图中的两个节点必能在原图中找到对应的边，即子图中任意两个点之间必定有一条边，因此得证
完全图的点诱导子图也是完全图
\subsection*{15}
\addcontentsline{toc}{subsection}{15}
假设不连通，那么两个点处于两个连通分支当中。因为其余节点都是偶度数节点，那么那两个连通分支的度数将会是奇数，根据握手
定理，推出矛盾，因此$u$和$v$必定是连通的。
\subsection*{19}
\addcontentsline{toc}{subsection}{19}
$G-v$最多产生$\mathop{deg}(v)$个奇度数点，又因为每个连通分支中奇度数点的个数是偶数，即$G-v$的连通分支最少有两
条边和$v$相连，所以总联通分支数小于等于$\frac{\mathop{deg}(v)}{2}$
\subsection*{27}
\addcontentsline{toc}{subsection}{27}
先将原来的有向图中的节点编上号：
\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \scalebox{1.5}{
        \begin{tikzpicture}
            [
            dot/.style={circle,draw,inner sep=1.5pt}
            to/.style={->}
            from/.style={<-}
            ]
            \node[dot] (1) at (3,6) {};
            \node[dot] (2) at (0,4) {};
            \node[dot] (3) at (4,4) {};
            \node[dot] (4) at (8,4) {};
            \node[dot] (5) at (1,2) {};
            \node[dot] (6) at (7,2) {};
            \node[dot] (7) at (0,0) {};
            \node[dot] (8) at (4,0) {};
            \node[dot] (9) at (8,0) {};

        \end{tikzpicture}
    }
\end{figure}
\end{document}